▷ Système binaire, décimal, octal et hexadécimal ce qu'il est et comment il fonctionne

Si vous êtes un étudiant en informatique, en électronique ou dans une branche de l'ingénierie, l'une des choses que vous devez savoir est d'effectuer des conversions de système de numérotation. En informatique, les systèmes de numérotation utilisés sont différents de ce que nous connaissons traditionnellement, tout comme notre système décimal. C'est pourquoi, très probablement, si nous nous consacrons au domaine de l'informatique, de la programmation et des technologies similaires, nous aurons besoin de connaître les systèmes les plus utilisés et comment savoir comment passer d'un système à un autre.

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Comment effectuer des conversions de système de numérotation

Il est particulièrement utile de connaître le système de conversion décimal en binaire et vice versa, car c'est le système de numérotation avec lequel les composants d'un ordinateur fonctionnent directement. Mais il est également très utile de connaître le système hexadécimal, car il est utilisé par exemple pour représenter les codes couleurs, les clés et un grand nombre de codes de notre équipe.

Systèmes de numérotation

Un système de numérotation consiste en la représentation d'un ensemble de symboles et de règles qui nous permettent de construire des nombres valides. En d'autres termes, il consiste à utiliser une série de symboles bornés avec lesquels il sera possible de former d'autres valeurs numériques sans aucune limite.

Sans aller trop loin dans les termes mathématiques des définitions, les systèmes les plus utilisés par les humains et les machines seront les suivants:

Système décimal

Il s'agit d'un système de numérotation positionnelle dans lequel les quantités sont représentées par la base arithmétique du nombre dix.

Comme la base est le nombre dix, nous aurons la possibilité de construire tous les chiffres en utilisant dix nombres qui sont ceux que nous connaissons tous. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ces nombres seront utilisés pour représenter la position des puissances de 10 dans la formation de n'importe quel nombre.

Ainsi, nous pourrions représenter un nombre de la manière suivante dans ce système de numérotation:

Nous voyons qu'un nombre décimal est la somme de chaque valeur par la base 10 élevée à la position-1 que chaque terme occupe. Nous garderons cela à l'esprit pour les conversions dans d'autres systèmes de numérotation.

Système binaire

Le système binaire est un système de numérotation dans lequel est utilisée la base arithmétique 2. Ce système est celui utilisé par les ordinateurs et les systèmes numériques en interne pour effectuer absolument tous les processus.

Ce système de numérotation n'est représenté que par deux chiffres, 0 et 1, c'est pourquoi il est basé sur 2 (deux chiffres). Avec lui, toutes les chaînes de valeur seront construites.

Système octal

Comme pour les explications précédentes, nous pouvons déjà imaginer de quoi il s'agit dans le système octal. Le système octal est le système de numérotation dans lequel la base arithmétique 8 est utilisée, c'est-à-dire que nous aurons 8 chiffres différents pour représenter tous les nombres. Ce seront: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Système hexadécimal

Suivant les définitions précédentes, le système de numérotation décimale est un système de numérotation positionnel basé sur le nombre 16. À ce stade, nous nous demanderons comment allons-nous obtenir 16 nombres différents, si par exemple 10 est la combinaison de deux nombres différent?

Eh bien, très simple, nous les avons inventés, pas nous, mais ceux qui ont inventé le système en question. Les nombres que nous aurons ici seront: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F. cela fait un total de 16 termes différents. Si vous avez déjà défini le code numérique d'une couleur, il a ce type de numérotation, et c'est pourquoi vous verrez comment le blanc, par exemple, est représenté comme la valeur FFFFFF. Nous verrons plus loin ce que cela signifie.

Conversion entre système binaire et décimal

Comme il est le plus simple et le plus simple à comprendre, nous commencerons par effectuer une conversion entre ces deux systèmes de numérotation.

Convertir le nombre de binaire en décimal

Comme nous l'avons vu dans la première section, nous représentons un nombre décimal comme la somme des valeurs multipliées par la puissance de 10 à la position-1 qu'il occupe. Si nous appliquons cela à n'importe quel nombre binaire, avec sa base correspondante, nous aurons ce qui suit:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Mais bien sûr, si nous faisions la procédure comme dans le système décimal, nous obtiendrions des valeurs autres que 0 et 1, qui sont celles que nous ne pouvons représenter que dans ce système de numérotation.

Mais cela va être très utile pour effectuer la conversion au système décimal. Calculons le résultat de chaque valeur dans sa case:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Eh bien, si nous faisons la somme de ces valeurs résultant de chaque cellule, nous obtiendrons la valeur équivalente décimale de la valeur binaire.

La valeur décimale de 100110 est 38

Il suffit de multiplier le chiffre (0 ou 1) par sa base (2) élevée à la position-1 qu'il occupe sur la figure. Nous ajoutons les valeurs et nous aurons le nombre en décimal.

Si vous n'êtes pas convaincu, nous allons maintenant effectuer le processus inverse:

Convertir un nombre décimal en binaire

Si auparavant nous avons multiplié les nombres et une somme pour déterminer la valeur décimale, maintenant nous devrons diviser le nombre décimal par la base du système dans lequel nous voulons le convertir, dans ce cas 2.

Nous effectuerons cette procédure jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de procéder à une nouvelle division. Voyons l'exemple de la façon dont cela serait fait.

Le numéro	38	19	9	4	2	1
Division	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Repos	0	1	1	0	0	1

C'est le résultat de minimiser les divisions successives. Vous avez peut-être déjà compris comment cela fonctionne. Si nous prenons maintenant le reste de chaque division et inversons sa position, nous obtiendrons la valeur binaire du nombre décimal. C'est-à-dire, commencé à partir de l'endroit où nous avons terminé la division à l'envers:

Nous avons donc le résultat suivant: 100110

Comme nous pouvons le voir, nous avons réussi à avoir exactement le même nombre qu'au début de la section.

Conversion d'un nombre décimal fractionnaire en binaire

Comme nous le savons bien, il existe non seulement des nombres décimaux entiers, mais nous pouvons également trouver des nombres réels (fractions). Et en tant que système de numérotation, il devrait être possible de convertir un nombre du système décimal au système binaire. Nous voyons comment le faire. Prenons le nombre 38, 375 comme exemple

Ce que nous devons faire, c'est séparer chacune des parties. Nous savons déjà calculer la partie entière, nous allons donc passer directement à la partie décimale.

La procédure sera la suivante: il faut prendre la partie décimale et la multiplier par la base du système, c'est-à-dire 2. Le résultat de la multiplication nous devons le multiplier à nouveau jusqu'à ce que nous obtenions une partie fractionnaire de 0. Si lors de la multiplication un nombre factionnel apparaît avec une partie entière, nous n'aurons qu'à prendre la fraction pour la prochaine multiplication. Regardons l'exemple pour mieux le comprendre.

Le numéro	0, 375	0, 75	0, 50
Multiplication	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Partie entière	0	1	1

Comme nous pouvons le voir, nous prenons la partie décimale et la multiplions à nouveau jusqu'à ce que nous atteignions 1, 00 où le résultat sera toujours 0.

Le résultat de 38, 375 en binaire sera alors de 100 110, 011

Mais que se passe-t-il lorsque nous ne pouvons jamais atteindre un résultat de 1, 00 dans le processus? Voyons l'exemple avec 38, 45

Le numéro	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
Multiplication	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Partie entière	0	1	1	1	0	0	1

Comme nous pouvons le voir , à partir de 0, 80, le processus devient périodique, c'est-à-dire que nous ne terminerons jamais la procédure car les nombres de 0, 8 à 0, 4 apparaîtront toujours. Notre résultat sera alors une approximation du nombre décimal, plus nous irons loin, plus nous obtiendrons de précision.

Donc: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Voyons comment faire le processus inverse

Conversion d'un nombre binaire fractionnaire en décimal

Ce processus sera effectué de la même manière que le changement de base normal, sauf que, à partir de la virgule, les pouvoirs seront négatifs. Prenons simplement la partie entière du nombre binaire précédent:

0	1	1	1	0	0	1	…
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0, 125	1 · 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0, 0078125	…

Si nous ajoutons les résultats, nous obtiendrons:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Si nous continuions à effectuer des opérations, nous nous rapprocherions de plus en plus de la valeur exacte de 38, 45

Conversion entre système octal et système binaire

Maintenant, nous allons voir comment effectuer la conversion entre deux systèmes qui ne sont pas décimaux, pour cela nous prendrons le système octal et le système binaire et nous ferons la même procédure que dans les sections précédentes.

Convertir le nombre de binaire en octal

La conversion entre les deux systèmes de numérotation est très simple car la base du système octal est la même que dans le système binaire mais élevée à la puissance de 3, 2 ³ = 8. Sur cette base, nous allons donc regrouper les termes binaires en groupes de trois en partant de la droite vers la gauche et les convertir directement en nombre décimal. Voyons l'exemple avec le numéro 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Nous regroupons tous les trois chiffres et effectuons la conversion en décimal. Le résultat final sera que 100110 = 46

Mais que faire si nous n'avons pas de groupes parfaits de 3? Par exemple 1001101, nous avons deux groupes de 3 et un de 1, voyons comment procéder:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Après la procédure, nous prenons les groupes à droite du terme et lorsque nous arrivons à la fin, nous remplissons avec autant de zéros que nécessaire. Dans ce cas, nous en avons eu besoin de deux pour compléter le dernier groupe. Donc 1001101 = 115

Convertir le nombre octal en binaire

Eh bien, la procédure est aussi simple que de faire le contraire, c'est-à-dire de passer du binaire au décimal en groupes de 3. Voyons cela avec le nombre 115

Valeur	1	1	5
Division	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Repos	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Groupe	001	001	101

De cette façon, nous voyons que 115 = 001001101 ou ce qui est le même 115 = 1001101

Conversion entre système octal et système décimal

Maintenant, nous allons voir comment effectuer la procédure de passage du système de nombres octal à la décimale et vice versa. Nous verrons que la procédure est exactement la même que dans le cas du système décimal et binaire, seulement nous devons changer la base à 8 au lieu de 2.

Nous effectuerons les procédures directement avec des termes avec une partie fractionnaire.

Convertir un nombre décimal en octal

En suivant la procédure de la méthode décimale-binaire nous la réaliserons avec l'exemple de 238.32:

Partie entière. On divise par la base, qui est 8:

Le numéro	238	29	3
Division	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Repos	6	5	3

Partie décimale, on multiplie par la base, qui est 8:

Le numéro	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Multiplication	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Partie entière	2	4	3	6	5	…

Le résultat obtenu est le suivant: 238, 32 = 356, 24365…

Convertir le nombre octal en décimal

Eh bien, faisons le processus inverse. Passons le nombre octal 356.243 en décimal:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Le résultat est de: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Conversion entre système hexadécimal et système décimal

Nous terminons ensuite avec le processus de conversion entre le système de numérotation hexadécimal et le système décimal.

Convertir un nombre décimal en hexadécimal

En suivant la procédure de la méthode décimal-binaire et décimal-octal nous la réaliserons avec l'exemple de 238.32:

Partie entière. Nous divisons par la base, qui est 16:

Le numéro	238	14
Division	÷ 16 = 14	-
Repos	E	E

Partie décimale, on multiplie par la base, qui est 16:

Le numéro	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Multiplication	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Partie entière	5	1	E	B	8	…

Le résultat obtenu est le suivant: 238, 32 = EE, 51EB8…

Convertir le nombre d'hexadécimal en décimal

Eh bien, faisons le processus inverse. Passons le nombre hexadécimal EE, 51E en décimal:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Le résultat est: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Eh bien, ce sont les principales façons de changer la base d'un système de numérotation à un autre. Le système est applicable à un système dans n'importe quelle base et au système décimal, bien que ceux-ci soient les plus utilisés dans le domaine de l'informatique.

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